Aritmetiğin Temel Teoremi ve Asal Sayıların Sonsuzluğu

Aritmetiğin Temel Teoremi ve Asal Sayıların Sonsuzluğu

Öncelikle asal sayıları tanıyalım. Yalnızca 1’e ve kendisine bölünebilen 1’den büyük sayılar asal sayılardır. Örneğin 2, 3, 5, 7, 11, 13… her biri birer asal sayıdır. Asal sayıların sonsuzluğu üzerine yapılan ispatlar içerisinden en zarif ispat şüphesiz ki Öklid’e aittir. Bu ispat Öklid’in ‘Elements’ adlı kitabında yer almaktadır. İspatta kullanılan bir diğer teorem Aritmetiğin temel teoremidir. Milattan önce 300 yılında Öklid tarafından ortaya atılan teorem, 1800’lü yılların başında Gauss tarafından ispatlanmıştır.

Aritmetiğin Temel Teoremi

Teorem: (Aritmetiğin Temel Teoremi) Birden büyük her tam sayı sonlu sayıda birbirinden farklı asal sayıların çarpımı olarak yazılabilir ve bu yazılış tek türlüdür.

İspat:

  1. P1 asal sayısı n sayısının bir böleni olsun. P1=n ise n sayısı n=P1 şeklinde asal sayının çarpımı olarak yazılır.
  2. Şayet P1<n ise R1>1 için n=P1.R1 şeklindedir. R1 asal sayı ise R1=P2 olmak üzere n=P1.P2 şeklinde asal sayıların çarpımı olarak yazılır.
  3. Şayet R1 bileşik sayı ise R2>1 olmak üzere R1=P2.R2’dir.R2 asal sayı ise R2=P3 olmak üzere N=P1.P2.P3 olur.
  4. Şayet R2 bileşik sayı ise, aynı şekilde asal sayıların çarpımı şeklinde yazmaya devam edersek R1>R2>R3>…≥ 1 elde ederiz.

5.Sonlu adımdan sonra birden büyük her tam sayı için n=P1.P2.P3…Pk elde ederiz.

Asal Sayıların Sonsuzluğu

Şimdi de asal sayıların sonsuzluğundan bahsedelim. Öklid’in yaptığı bu ispat, Matematik tarihinin en şık ispatlarından biri olmakla beraber, olmayana ergi metodunun kullanıldığı ilk ispattır. Öklid’den itibaren bu metot matematik kitaplarında yer almıştır.Olmayana ergi yöntemi, bir şeyin doğruluğunu kanıtlamak yerine yanlış olamayacağını kanıtlamaktır.

Varsayım: Asal sayılar sonludur.

En büyük asal sayıyı P asal sayısı olarak kabul edelim.Bir K sayısı ele alalım ve bu sayıyı tüm asal sayıların çarpımından 1 fazla olarak kabul edelim.

K=(2.3.5.7…P)+1   Aritmetiğin temel teoremini hatırlayacak olursak birden büyük her tam sayı sonlu sayıda birbirinden farklı asal sayıların çarpımı olarak yazılabilir. K sayısını inceleyelim. K sayısını bildiğimiz tüm asallara böldüğümüzde 1 kalanını vermektedir. Yani K sayısı ya asal bir sayıdır ya da iki asal sayının çarpımı şeklinde yazılabilir. Bu durum varsayımımız ile çelişmektedir. Yani asal sayılar sonsuzdur.

Günümüzde bilinen en büyük asal sayı ise GIMPS projesi ile bulunan   2 77.232.917 -1  asalıdır.

Yazan: Sezin Irmak GÜMÜŞ

Kaynak: Olimpik Matematik Sayılar Teorisine Giriş

YouTube Kanalımız

Sezin Irmak Gümüş
15 temmuz 2004 Çanakkale doğumlu.Cumhuriyet Fen Lisesi öğrencisi.

Popüler Yazılar

Gökbilimciler Dünyanın Kesin Ölüm Tarihini Hesaplamayı Başardılar

Gökbilimciler Dünyanın Kesin Ölüm Tarihini Hesaplamayı Başardılar Bilim insanları çalışmalarında, gezegenlerin yapısı dışında, yaşanabilir bölgede geçirdikleri zaman ve oradan tekrar ayrıldıkları zamanla da ilgilenirler....

Güneşin 2,5 milyon katı parlaklığındaki Yıldız Kayboldu

Güneşin 2,5 milyon katı parlaklığındaki Yıldız Kayboldu Bilim insanları 2019 yılında Güneşin 2,5 milyon katı parlaklığındaki büyük kütleli bir yıldızın ortadan kaybolduğuna tanık olmuşlardı. Astrofizikçilerden oluşturulan...

Her Şeyi Değiştiren Teori – Genel Görelilik Teorisi

Her Şeyi Değiştiren Teori - Genel Görelilik Teorisi Merhabalar bugün tam 104 yıl önce 1916 yılında bir deha tarafından ortaya atılan bir teori hakkında konuşacağız. Genel...

Nikola Tesla ’nın 116 Yıl Sonra Ortaya Çıkan Röportajı!

Nikola Tesla’nın 116 Yıl Sonra Ortaya Çıkan Röportajı! Gazeteci: Bay Tesla, sizin için kozmik süreçlere karışan biri diyorlar. Sahiden siz kimsiniz? Tesla: Bu doğru bir soru,...

İlgili Yazılar

Leave a reply

Please enter your comment!
Please enter your name here

%d blogcu bunu beğendi: