Minik Sihirbazlıklar

Birkaç matematik hamlesiyle ve birkaç soru ile aklınızdan tuttuğunuz iki basamaklı, üç basamaklı sayıları hatta telefon numaranızı bile tahmin edebilirim desem inanır mısınız? 100’den küçük bir doğal sayı tutun ama bana söylemeyin.Şimdi bana tuttuğunuz sayının 3, 5 ve 7 ile bölümünden kalanlarını söylemelisiniz.Tuttuğunuz sayının 68 olduğunu varsayıyorum. Sırayla 3’e 5’e ve 7’ye bölüyorsunuz. Bulduğunuz kalanlar 2 , 3 ve 5 şeklinde.Bu sayıları bana söylediğinizde ben size tuttuğunuz sayıyı söylüyorum: “68” Elimde hesap makinesi olmadan sayıyı tahmin edebilmem modüler aritmetik bilgisine sahip olmayan biri için biraz şaşırtıcı. O halde modüler aritmetik konusunu basit bir anlatımla aktarmaya çalışayım.

Minik Sihirbazlıklar

Modüler Aritmetik

Günlük hayatımızda zaman ile ilgili tüm hesaplarımızda modüler aritmetikten yararlanırız. Ankara-İstanbul arası bir yolculuğa çıkalım. Yaklaşık 6 saat sürecek bu yolculuğa gece 23.00’te çıksak saat kaçta varırız? Bu problemin çözümünü yaparken 23+6=29 demiyoruz da bunun yerine sabah 5 olarak cevap veriyoruz. 24 dilimlik bir saatte 24’e vardığımızda tekrardan başa döneriz. Matematiksel işleme dökecek olursak,

23+6=29   29=24.1+5

Saat 23.00’ın saat kaç olduğunu bulurken ise 12 dilimlik bir saat ile hesaplama yapar ve saat 11 deriz. Yani her 12 saatte bir başa döneriz. Matematiksel işleme dökecek olursak,

23=12.1+11

Aslında tüm mantık kalanlar ile.

Minik bir sihirbazlık daha!

1000’den küçük bir doğal sayı tutun ve bu sayıyı bana söylemeyin. Şimdi ise sizden isteğim bu sayıyı 7, 11 ve 13’e böldüğünüzde kalanlarını söylemeniz.Varsayalım ki tuttuğunuz sayı 468. Sırayla kalanlar ise 6 , 6 ve 0.Bunu bana söylüyorsunuz ve ben yine size tuttuğunuz sayının 468 olduğunu söylüyorum.

Matematik ile düşünmek

3’e bölündüğünde a , 5’e bölündüğünde b, 7’ye bölündüğünde c kalanı veren bir sayı düşünelim.

Öyle bir sayı arıyoruz ki ;

3’e bölündüğünde kalan 1 , 5’e bölündüğünde kalan 0 ve 7’ye bölündüğünde kalanı 0 olsun.

Bu özellikleri sağlayan en küçük pozitif tam sayı 70’tir.

Yine öyle bir sayı arıyoruz ki ;

3’e bölündüğünde kalan 0, 5’e bölündüğünde kalan 1 ve 7’ye bölündüğünde kalan 0 olsun.

Bu özellikleri sağlayan en küçük pozitif tam sayı 21’dir.

Ve son olarak öyle bir sayı arıyoruz ki ;

3 bölündüğünde kalan 0, 5’e bölündüğünde kalan 0 ve 7’ye bölündüğünde kalan 1 olsun.

Bu özellikleri sağlayan en küçük pozitif tam sayı 15’tir.

Sonuç olarak kalanlar a, b ve c olmak üzere a=0,1,2  ; b=0, 1, 2, 3, 4 ve c=0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 için ,

70a+21b+15c sayısı 3’e 5’e ve 7’ye bölündüğünde kalanlar a, b, c’dir.

70a+21b+15c hesaplandığında büyük bir değer elde edilirse 3, 5 ve 7’nin çarpımı olan 105’e bölümünden kalana bakılır.

1000’e kadar olan sayılar için de benzer işlemler yapılırsa 715a+364b+924c sayısından çıkarabildiğimiz kadar 1001 çıkartılarak tutulan sayı bulunabilmektedir.

Hayat sadece iki şey için güzel; matematiği keşfetme ve öğrenme.Simeon Poisson

Yazan: Sezin Irmak GÜMÜŞ

Kaynak*

YouTube Kanalımız

Leave a reply

Please enter your comment!
Please enter your name here