Yaş Günü Paradoksu

Yaş Günü Paradoksu

Aynı gün doğmuş olmak… Birçoğumuzun şaşırdığı bir durum. Çoğunlukla tesadüf olarak değerlendirdiğimiz bu olay gerçekten bir tesadüf mü? Peki ya buna matematiksel olarak yaklaşacak olursak?

Bir yılda 365 gün var ve kişi sayımız 366 kişi olursa ki bu problem güvercin yuvası ilkesi ile benzerlik gösterecektir. Eğer 3 güvercinimiz varsa ve 2 yuvamız varsa iki güvercin oda arkadaşı olacaktır. Benzer şekilde 365 gün ve 366 kişi için aynı gün doğan iki kişi mutlaka vardır.

Daha az kişinin olduğu bir topluluğa bakacak olursak ,

Kolay olması açısından 29 şubatı yok sayarsak, iki kişinin aynı gün doğmuş olma ihtimali 1/365’tir. Farklı günlerde doğmuş olma ihtimali ise 1-1/365 ile hesaplanır ve 364/365’tir. Diğer bir deyişle iki kişiden birinin diğerinden farklı günde doğabilmesi için 364 farklı gün seçeneği vardır.

Peki 3 kişi için? Üçüncü kişinin diğerlerinden farklı günde doğabilmesi için 363 farklı gün seçeneği vardır. Üçünün doğum günlerinin farklı olabilmesi için ise iki olasılık birbiri ile çarpılmalıdır. Çünkü olasılıkta iki farklı olayın birlikte olması hesaplanırken olasılıklar birbiri ile çarpılır. Yani üçünün farklı günlerde doğmuş olma olasılığı 364/365 . 363/365 olarak bulunur.

Hesabı 23 kişi için yapacak olursak ,

B=364/365 . 363/365 . 362/365 . 361/365 …… 342/365 B= (23 Kişinin Farklı Günlerde Doğmuş Olma Olasılığı) 23 kişiden en az ikisinin aynı gün doğmuş olma olasılığı 1-B’dir ve buradan sonuç %50 gelmektedir.

Yani 23 kişiden en az ikisinin aynı gün doğmuş olma olasılığı %50 , 40 kişi için hesaplayacak olursak %90 , 50 kişi için hesaplayacak olursak %97 . Eğer bu işlemi 57 kişi için sürdürecek olursak farklı günlerde doğma olasılığı %1’den küçük olacaktır. Yani 57 kişilik bir grupta iki kişinin aynı gün doğmuş olma olasılığı %99’dan büyüktür. Neredeyse kesin!

Olasılıksız üzerine inceleme

Şimdi de Olasılıksız kitabından konu ile ilgili bir bölüm inceleyelim. Şüphesiz ki Adam Fawer bu konuya kitabında harika değinmiş.

” Peki, son soru: Sınıftaki iki kişinin aynı günde doğmuş olma olasılığı nedir?” “Peki, “dedi Caine tahtaya doğru dönerek, ” Diyelim ki bizim farklı günlerde doğduğumuzu bilmiyoruz, aynı işlemi yapıyoruz: Yani bizim aynı günde doğmuş olma olasılığımızı hesaplarken yaptığımız işlemi. Sonra sınıftaki her öğrenci için bunu tekrarlıyoruz, her seferinde de gün sayısından bir gün eksiltiyoruz. “

Olasılık (hiç kimse başkasıyla aynı günde doğmadı) =(364/365) . (363/365) . (362.365)…(306/365)= 0.006 = % 0.6

” Demek ki bu sınıftaki iki kişinin aynı günde doğmamış olma olasılığı %0.6, yani iki kişinin aynı günde doğmuş olma olasılığı %99.4 “